希尔伯特空间是什么?

希尔伯特空间是数学中一种特殊的向量空间，包含内积运算，能定义长度和角度。这个空间中的向量可以是函数、序列或普通数字，满足完备性要求，所有柯西序列都能收敛到空间内的点。常见的例子包括平方可积函数空间和有限维欧几里得空间。

这个空间在量子力学、信号处理和机器学习中有广泛应用。量子态用希尔伯特空间中的向量表示，信号分析中傅里叶变换依赖其性质。实际应用中，工程师用它设计滤波器，物理学家用它描述粒子运动，数学家用它研究偏微分方程的解。